6次本原多项式有哪些

2025-10-29 18:41:40 来源：用户：

【6次本原多项式有哪些】在有限域理论中，本原多项式（Primitive Polynomial）是具有特定性质的多项式，它们在构造有限域、纠错编码、密码学等领域中有着广泛应用。对于二元有限域 $ \text{GF}(2) $，6次本原多项式是指次数为6、在 $ \text{GF}(2) $ 上不可约，并且其根是该域的一个本原元的多项式。

以下是对所有6次本原多项式的总结，以表格形式呈现：

序号	多项式表示（系数从高到低）	多项式表达式
1	1 0 0 0 0 1 1	$ x^6 + x + 1 $
2	1 0 0 0 1 1 1	$ x^6 + x^3 + x^2 + x + 1 $
3	1 0 0 1 0 0 1	$ x^6 + x^4 + 1 $
4	1 0 0 1 1 0 1	$ x^6 + x^4 + x^3 + 1 $
5	1 0 0 1 1 1 1	$ x^6 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $
6	1 0 1 0 0 1 1	$ x^6 + x^5 + x^2 + x + 1 $
7	1 0 1 0 1 1 1	$ x^6 + x^5 + x^3 + x^2 + x + 1 $
8	1 0 1 1 0 1 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 $
9	1 0 1 1 1 0 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + 1 $
10	1 0 1 1 1 1 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $
11	1 1 0 0 0 1 1	$ x^6 + x^5 + x + 1 $
12	1 1 0 0 1 0 1	$ x^6 + x^5 + x^3 + 1 $
13	1 1 0 1 0 0 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + 1 $
14	1 1 0 1 0 1 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 $
15	1 1 0 1 1 0 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + 1 $
16	1 1 1 0 0 0 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x + 1 $
17	1 1 1 0 0 1 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 $
18	1 1 1 0 1 0 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + 1 $
19	1 1 1 1 0 0 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 $
20	1 1 1 1 0 1 1	$ x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $

注：以上列表基于 $ \text{GF}(2) $ 下的6次本原多项式，共有20个。这些多项式在构造 $ \text{GF}(2^6) $ 域时非常有用，常用于生成伪随机序列、卷积码和线性反馈移位寄存器等应用。

如需进一步了解某一个多项式是否为本原多项式，可以通过验证其根的阶是否为 $ 2^6 - 1 = 63 $ 来判断。

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