arcsinx求导后是啥

【arcsinx求导后是啥】在微积分中，反三角函数的求导是一个常见的知识点。其中，$ \arcsin x $ 是正弦函数的反函数，其定义域为 $[-1, 1]$，值域为 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。当我们对 $ \arcsin x $ 进行求导时，会得到一个简洁而重要的结果。

一、结论总结

通过对 $ \arcsin x $ 的导数进行推导可以得出：

$$

\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

这个结果在计算涉及反三角函数的积分和微分问题时非常有用。

二、关键点总结

三、推导思路（简要）

设 $ y = \arcsin x $，则有 $ x = \sin y $。

两边对 $ x $ 求导得：

$$

1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}

$$

由于 $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，所以

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

四、应用场景

- 在物理中，用于描述圆周运动或波动问题。

- 在工程和数学建模中，处理与角度相关的函数变化率。

- 在高等数学中，作为积分表中的常见形式。

通过以上分析可以看出，$ \arcsin x $ 的导数是一个简单但重要的表达式，掌握它有助于进一步理解反三角函数的性质和应用。

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