arctanx的导数

【arctanx的导数】在微积分中，反三角函数的导数是常见的求导问题之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个基础但重要的知识点。本文将对 arctanx 的导数 进行总结，并通过表格形式清晰展示相关公式和推导过程。

一、arctanx 导数的基本结论

设 $ y = \arctan x $，则其导数为：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

$$

这个结果可以通过隐函数求导法或利用三角恒等式进行推导。

二、推导过程（简要说明）

1. 设定变量关系

令 $ y = \arctan x $，则根据反正切函数的定义，有：

$$

x = \tan y

$$

2. 对两边求导

对 $ x = \tan y $ 两边关于 $ x $ 求导，得到：

$$

1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}

$$

3. 解出 $ \frac{dy}{dx} $

由上式可得：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

$$

4. 利用三角恒等式化简

由于 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，而 $ \tan y = x $，因此：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

$$

三、总结表格

四、应用举例

- 若 $ f(x) = \arctan(2x) $，则：

$$

f'(x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}

$$

- 若 $ f(x) = \arctan(\sqrt{x}) $，则：

$$

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}

$$

五、小结

arctanx 的导数 是一个常见且重要的微分公式，掌握它有助于理解反函数的求导方法，也常用于工程、物理及数学建模中。通过上述推导与表格总结，可以更系统地理解和记忆这一知识点。

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