arctanx的导数是怎么求出来的

2025-10-31 11:54:39 来源：用户：

【arctanx的导数是怎么求出来的】在微积分中，反三角函数的导数是常见的知识点。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个重要的结果，常用于各种数学问题和物理模型中。本文将总结arctanx导数的推导过程，并以表格形式展示关键步骤。

一、arctanx导数的推导思路

arctanx的导数可以通过隐函数求导法或反函数求导法来推导。这里我们采用反函数求导法，具体步骤如下：

1. 设 $ y = \arctan x $，则根据反函数的定义，有 $ x = \tan y $。

2. 对两边关于 $ x $ 求导，得到：

\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan y)

3. 左边为1，右边用链式法则求导：

1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}

4. 解出 $ \frac{dy}{dx} $：

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

5. 利用恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，而 $ \tan y = x $，所以：

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

因此，arctanx的导数为：

\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

二、推导过程总结表

步骤	内容说明
1	设 $ y = \arctan x $，则 $ x = \tan y $
2	对两边对 $ x $ 求导：$ 1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} $
3	解出 $ \frac{dy}{dx} $：$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} $
4	使用恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $
5	因为 $ \tan y = x $，代入得：$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} $

三、结论

通过上述推导可以得出，arctanx的导数为：

\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

这个结果在微积分中非常常见，广泛应用于求导、积分以及物理中的运动分析等领域。理解其推导过程有助于更深入地掌握反函数与导数之间的关系。

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