arctanx的导数怎么求

【arctanx的导数怎么求】在微积分中，反三角函数的导数是重要的知识点之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个常见且基础的问题。掌握其导数的求法，有助于理解反函数的导数规律，并为后续的积分和微分方程打下基础。

下面将从基本概念出发，逐步推导arctanx的导数，并通过表格形式进行总结。

一、基本概念

设 $ y = \arctan x $，则根据反函数的定义，可以得到：

$$

x = \tan y

$$

我们要求的是 $ \frac{dy}{dx} $，即 $ \frac{d}{dx} (\arctan x) $。

二、导数推导过程

1. 对两边对x求导：

$$

\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan y)

$$

左边为1，右边使用链式法则：

$$

1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}

$$

2. 解出 $ \frac{dy}{dx} $：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

$$

3. 利用恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，代入上式：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y}

$$

4. 回到原变量，因为 $ \tan y = x $，所以：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

$$

三、结论

因此，$ \arctan x $ 的导数为：

$$

\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

四、总结表格

五、小结

arctanx的导数可以通过反函数求导法推导得出，关键在于利用三角恒等式和链式法则。掌握这一过程不仅有助于记忆公式，还能加深对反函数导数的理解。在实际应用中，这个导数常用于积分计算、物理建模以及工程分析等领域。

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