arctanx的导数怎么推

【arctanx的导数怎么推】在微积分中，求函数的导数是一个基础而重要的内容。对于反三角函数之一的 arctanx（即反正切函数），它的导数是常见的知识点。下面我们将通过推导过程来理解 arctanx 的导数是怎么来的，并以加表格的形式进行展示。

一、推导过程

设：

$$

y = \arctan x

$$

根据反函数的定义，可以得到：

$$

x = \tan y

$$

对两边关于 $ x $ 求导，使用链式法则：

$$

\frac{d}{dx} (x) = \frac{d}{dx} (\tan y)

$$

左边为 1，右边用链式法则展开：

$$

1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}

$$

因此：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

$$

我们知道：

$$

\sec^2 y = 1 + \tan^2 y

$$

而 $ \tan y = x $，所以：

$$

\sec^2 y = 1 + x^2

$$

代入上式得：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

$$

所以：

$$

\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

二、总结与表格

三、小结

通过上述推导过程可以看出，arctanx 的导数 是基于其反函数性质以及基本的三角恒等式得出的。这个结果在后续的积分、微分方程等领域中有着广泛应用。掌握这一推导方法有助于加深对反函数导数的理解，并提升解题能力。

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