arctanx求导公式推导过程

【arctanx求导公式推导过程】在微积分中，反三角函数的求导是常见的知识点之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个基础而重要的内容。本文将通过数学推导的方式，详细说明arctanx的导数公式，并以加表格的形式展示结果。

一、推导过程概述

设 $ y = \arctan x $，即 $ x = \tan y $。

对两边关于 $ x $ 求导：

$$

\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan y)

$$

左边为1，右边使用链式法则：

$$

1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}

$$

因此，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

$$

利用三角恒等式：$ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，而 $ \tan y = x $，所以：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

$$

最终得到：

$$

\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

二、总结与表格展示

三、注意事项

- 在推导过程中，必须确保 $ y $ 的取值范围在 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 内，这是 arctanx 的定义域。

- 公式适用于所有实数 $ x $，且导数始终为正，说明 arctanx 是单调递增函数。

- 在实际应用中，该导数常用于求解反函数的导数、积分变换以及物理中的运动学分析等。

通过上述推导与总结，我们可以清晰地理解 arctanx 的导数来源及其应用价值。这一公式不仅是数学学习的重要内容，也是许多科学与工程问题的基础工具。

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